欧拉线(欧拉线定理)
大家好,小讯来为大家解答以上的问题。欧拉线,欧拉线定理这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、方法1:(利用几何画板) 逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
2、 去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。
3、因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1 (1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。
4、依次去掉所有的面,变为“树枝形”。
5、 (2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。
6、 以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2。
7、 对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。
8、因此公式对任意简单多面体都是正确的。
9、方法2:计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V,面数F,棱数E。
10、剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和∑α 一方面,在原图中利用各面求内角总和。
11、 设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为: ∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 (1) 另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。
12、 设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·180角,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。
13、中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。
14、 所以,多面体各面的内角总和: ∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =(V-2)·360度(2) 由(1)(2)得: (E-F) ·360度=(V-2)·360度 所以 V+F-E=2.方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
15、 欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那末 F-E+V=2。
16、 证明 如图(图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的): (1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。
17、 (2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。
18、假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。
19、 (3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。
20、每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。
21、因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。
22、有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
23、 (4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。
24、这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。
25、 (5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。
26、这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。
27、 (6)这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。
28、这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
29、 (7)因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。
30、 (8)如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。
31、因此F′-E′+V′仍然没有变。
32、 即F′-E′+V′=1 成立,于是欧拉公式: F-E+V=2 得证。
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