【朗肯土压力推导公式】在土力学中，朗肯土压力理论是用于计算挡土墙后土体对墙体施加的压力的重要方法之一。该理论由英国工程师威廉·约翰·朗肯（William John Rankine）于19世纪提出，适用于均质、各向同性且无粘性的理想砂土或粘性土情况。朗肯理论基于土体处于极限平衡状态时的应力状态进行推导，其核心在于确定主动土压力和被动土压力。
以下是朗肯土压力推导公式的总结
一、基本假设
| 序号 | 假设内容 |
| 1 | 土体为均质、各向同性材料 |
| 2 | 土体表面水平，墙面垂直 |
| 3 | 墙面与土体之间无摩擦力（即光滑墙面） |
| 4 | 土体处于极限平衡状态 |
| 5 | 土体为理想塑性材料，服从莫尔-库仑破坏准则 |
二、主要参数定义
| 符号 | 含义 | 单位 |
| σ₁ | 最大主应力 | kPa |
| σ₃ | 最小主应力 | kPa |
| φ | 内摩擦角 | ° |
| γ | 土体重度 | kN/m³ |
| H | 墙高 | m |
| K_a | 主动土压力系数 | — |
| K_p | 被动土压力系数 | — |
| P_a | 主动土压力 | kN/m |
| P_p | 被动土压力 | kN/m |
三、朗肯土压力推导公式
1. 主动土压力系数 $ K_a $
$$
K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi}{2}\right)
$$
2. 被动土压力系数 $ K_p $
$$
K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right)
$$
3. 主动土压力分布（均匀土层）
对于深度为 $ z $ 处的主动土压力强度 $ p_a $：
$$
p_a = \gamma z K_a
$$
总主动土压力 $ P_a $ 为：
$$
P_a = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_a
$$
作用点距离墙底 $ \frac{H}{3} $ 处。
4. 被动土压力分布
对于深度为 $ z $ 处的被动土压力强度 $ p_p $：
$$
p_p = \gamma z K_p
$$
总被动土压力 $ P_p $ 为：
$$
P_p = \frac{1}{2} \gamma H^2 K_p
$$
作用点距离墙底 $ \frac{H}{3} $ 处。
四、适用范围与局限性
| 项目 | 内容 |
| 适用范围 | 适用于均质、无粘性或低粘性土，墙面光滑，土体表面水平 |
| 局限性 | 不适用于有明显粘聚力的土体；不考虑墙面摩擦力；仅适用于简单几何条件下的挡土墙设计 |
五、总结
朗肯土压力理论是一种经典的土压力计算方法，通过分析土体在极限平衡状态下的应力分布，可以得出主动和被动土压力的大小及分布规律。尽管其假设较为理想化，但在工程实践中仍具有较高的参考价值。实际应用中，需结合现场地质条件和具体工程要求，适当修正或与其他理论结合使用。
如需进一步了解朗肯理论与库伦理论的区别，可继续查阅相关资料。