【全微分dz怎么求】在多元函数中，全微分是研究函数变化率的重要工具之一。对于一个二元函数 $ z = f(x, y) $，其全微分 $ dz $ 表示函数在某一点处沿 $ x $ 和 $ y $ 方向的微小变化总和。掌握全微分的计算方法，有助于理解函数的局部性质和应用。
一、全微分的基本概念
全微分是函数在某一点处对自变量的线性近似，它由偏导数决定。若函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x, y) $ 处可微，则其全微分为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
其中：
- $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 是关于 $ x $ 的偏导数；
- $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 是关于 $ y $ 的偏导数；
- $ dx $ 和 $ dy $ 是自变量的微小变化量。
二、求全微分的步骤
1. 确定函数形式：明确所给函数是关于 $ x $ 和 $ y $ 的函数。
2. 求偏导数：分别对 $ x $ 和 $ y $ 求偏导数。
3. 代入公式：将偏导数与微分项相乘后相加，得到全微分表达式。
三、常见函数的全微分示例
| 函数形式 | 偏导数 | 全微分 |
| $ z = x^2 + y^2 $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x $, $ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y $ | $ dz = 2x\,dx + 2y\,dy $ |
| $ z = xy $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = y $, $ \frac{\partial z}{\partial y} = x $ | $ dz = y\,dx + x\,dy $ |
| $ z = e^{x+y} $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+y} $, $ \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+y} $ | $ dz = e^{x+y}(dx + dy) $ |
| $ z = \ln(x^2 + y^2) $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} $, $ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} $ | $ dz = \frac{2x}{x^2 + y^2} dx + \frac{2y}{x^2 + y^2} dy $ |
四、注意事项
- 全微分仅适用于可微函数，不可微函数不能使用此方法；
- 若函数中含有多个变量，需分别对每个变量求偏导；
- 全微分可以用于近似计算或优化问题中的梯度分析。
通过以上内容可以看出，全微分 $ dz $ 的求法并不复杂，只要掌握偏导数的计算方法，并正确代入公式即可。熟练掌握这一技巧，有助于更深入地理解多元函数的变化规律。